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ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

 

• Ecuaciones de transmisión unidimensional de calor • el laplaciano

• Ecuación de Laplace con dos variables • Condiciones iniciales

• Tipos de condiciones en la frontera • Problemas de valor en la frontera

• Ecuaciones en derivadas parciales clásicas modificadas

 

Durante el resto de este capitulo  nos ocuparemos principalmente en hallar soluciones en forma de producto de las ecuaciones en derivadas parciales

 

                                            (1)

                                                       (2)

                                                     (3)

 

o pequeñas variaciones de las mismas. A estas ecuaciones clásicas de la física matemática se les conoce, respectivamente, como ecuación en una dimensión del calor, ecuación de onda unidimensional y ecuación de Laplace en dos dimensiones. “En una dimensión” indica que x representa una dimensión espacial y que representa al tiempo. La ecuación de Laplace se abrevia donde

 

 

es laplaciano en dos dimensiones de la función u. En tres dimensiones, el laplaciano de u es

 

*   

 

Obsérvese que la ecuación (1) de transmisión de calor es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de Laplace (3) es elíptica.

 

Ecuación de transmisión de calor

La ecuación (1) se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado. La función u(x, t) es la temperatura. Los problemas de vibraciones mecánicas conducen con frecuencia a la ecuación de onda (2) representa el desplazamiento de una cuerda ideal. Por ultimo, una solución u(x, y) de la ecuación (3) de Laplace se puede interpretar como la distribución de estado estable (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa delgada y bidimensional.

Aun cuando debamos hacer  muchas hipótesis simplificadoras ¿o no?, Vale la pena ver cómo se originan ecuaciones como la (1) y la (2).

Supongamos que una varilla circular delgada de longitud L tiene una sección transversal de área A y que coincide con el eje x en el intervalo [0, L] (Fig. 11.1). También supongamos que

 

 

Fig. 11.1

 

 

q       El flujo de calor dentro de la varilla sólo tiene la dirección x.

q       La superficie lateral, o curva, de la varilla está aislada; esto es, no escapa calor de esa superficie.

q       No se genera calor dentro de la varilla.

q       La varilla es homogénea – es decir, su masa por unidad de volumen  es constante.

q       El calor especifico y la conductividad térmica del material de la varilla  son constantes.

 

Para derivar la ecuación diferencial parcial que satisface la temperatura u(x, t), necesitamos dos leyes empíricas de la conducción de calor:

 

  1. La cantidad de calor en un elemento de masa m es

 

 = mu,                                 (4)

 

donde u es la temperatura del elemento.

  1. La tasa de flujo de calor  a través de la sección transversal de la figura 11.1 es proporcional al área A de esa sección y a la derivada parcial de la temperatura con respecto a x:

 

                (5)

 

Puesto que el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente se incluye el signo menos en la ecuación (5) a fin de asegurar que  sea positivo para  (flujo de calor hacia la derecha) y negativo para  (flujo de calor hacia la izquierda). Si el corte circular de la varilla (Fig. 11.1) entre x y –x  +  es muy delgado, cabe suponer que u(x, t) es la temperatura aproximadamente en todo punto del intervalo. Ahora bien la masa del corte es  de manera que, según la ecuación (4) la cantidad de calor en él es,

 

                                  (6)

 

Además, cuando el calor fluye hacia la dirección de las x positivas, vemos que, de acuerdo con la ecuación (5), ese calor se acumula en la razón neta

 

 

           (7)

 

Al diferenciar la ecuación (6) con respecto a  vemos que esa razón neta también esta expresada por

 

                                              (8)

Igualamos (7) y (8), y de ello resulta

 

                                            (9)

 

Tomamos el limite de esta ecuación cuando  y llegamos a la ecuación (1) en la forma*

 

 

Se acostumbra que  y llamar difusividad térmica a esta constante positiva.

 

Ecuación de onda

Se tiene una cuerda de longitud , -como una cuerda de guitarra-, estirada entre los

puntos en el eje x: Por ejemplo, x = . Cuando comienza a vibrar, supongamos que el movimiento se lleva a cabo en el eje x (vibraciones transversales). Como vemos en la figura 11.2 (a), u (x, t) representa el desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda, medido a partir del eje x, cuando t >0. Además se supone que:

 

 

En la figura 11.2(b), las tensiones  y  son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo  Para  y  pequeños,  la fuerza vertical neta que actua sobre el elemento  correspondiente de la cuerda es, por consiguiente,

 

 

*Recordamos, del cálculo diferencial, que

 

 

FIGURA 11.2

 

en donde  Ahora,  es la masa de la cuerda en  y al aplicar la segunda ley de Newton optemos

 

o sea

 

Si se toma el límite cuando  esta última ecuación se transforma en . Esto es la ecuación (2) en que .

 

Ë