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ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES SEPARABLES

 

Ecuaciones lineales La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden (EDP) con dos variables independientes, x y y, es

 

 

en que A, B, C.........G son funciones de x y y. Cuando G (x , y) = 0, la ecuación se llama homogénea; en cualquier otro caso es no homogénea.

 

Ejemplo EDP Lineal Homogénea

 

La ecuación  es homogénea mientras que  es no homogénea.

 

Una solución de una ecuación en derivadas parciales con dos variable independientes x y y es una función u(x, y) que posee todas las derivadas parciales que indican la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy.

Como dice la introducción a este capitulo, no pretendemos concentrarnos en los procedimientos de determinación de las soluciones generales de las ecuaciones en derivadas parciales.

Desafortunadamente, para la mayor parte de la s ecuaciones lineales de segundo orden aun con las que tienen coeficientes constantes no es fácil llegar a una solución. Sin embargo, las cosa no están tan mal como parecen porque casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones particulares de las ecuaciones lineales importantes que se originan en muchas aplicaciones

 

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Separación de Variables Aunque  hay varios métodos que pueden ensayarse para encontrar soluciones particulares solo nos interesa uno: el método de separación de variables. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función de x por una función y, como

 

a veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales. Lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales

 

y que

 

donde la “prima” denota derivación ordinaria

 

EJEMPLO  Separación de Variables

 

Determine las soluciones producto de  

SOLUCION   Si u(x , y) = X(x)Y(y), la ecuación se transforma en

 

X’’Y=4XY’

 

Dividimos ambos lados entre 4XY, con lo cual separamos las variables:

 

 

Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independiente de y  e igual a lado derecho, que es independiente de x, llegamos a la conclusión que ambos lados son independientes tanto de x como de y. En otras palabras, cada lado de la ecuación debe ser constante. En la practica se acostumbra a escribir esta constante de separación real como .

Distinguimos los tres casos siguientes.

 

CASO I

 

Si

 

Estas ecuaciones tienen las soluciones siguientes:

 

 

Respectivamente. Así, una solución particular de la ecuación es

 

u =XY

 

en que

 

CASO II   Si

 

 

En vista de que las soluciones de estas ecuaciones son

 

 

respectivamente, otra solución particular es

 

 

en donde

 

CASO III

 

Se deja como ejercicio comprobar que la ecuaciones (2), (3) y (4) satisfacen la ecuación de ejemplo.

La separación de variables no es un método general para hallar soluciones particulares; algunas ecuaciones diferenciales simplemente no son separables. El lector debe comprobar que la hipótesis u =XY no conduce a una solución de  

 

Principio de superposición  El teorema siguiente análogo al teorema 4.2 y se denomina principio de superposición.

 

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