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CONDICIONES EN LA FRONTERA

La cuerda de la figura 11.4 está fija en el eje x en x = 0 y x = L. Esto lo traducimos en las dos condiciones en la frontera (CF) siguientes:

 

    

 

Nótese que en este contexto la función  es continua en la ecuación (10) y, en consecuencia,  En general hay tres tipos de condiciones en la frontera relacionadas con ecuaciones como la (1), (2) o (3). En una frontera podemos especificar los valores de una de las siguientes cantidades:

 

               o bien constante.

 

Aquí  representa la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección perpendicular a la frontera). Una condición a la frontera del primer tipo, i), se llama condición de Diric

hlet; del segundo tipo, ii), condición de Newmann, y del tercer tipo iii), condición de Robin. Por ejemplo, cuando  una condición frecuente en el extremo derecho de la varilla en la figura 11.1 puede ser

 

 

La condición i)’ tan sólo expresa que la frontera  se mantiene a una temperatura  constante en todo momento  por algún medio. La condición ii)’ indica que la frontera  está aislada. Según la ley empírica de la transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una sección (esto es, la cantidad de calor por unidad de área y por unidad de tiempo que es conducida a través de la frontera ) es proporcional al valor de la derivada normal  de la temperatura . Así cuando la frontera  está térmicamente aislada, no entra ni sale calor de la varilla y

 

 

Podemos interpretar que la condición iii)’ representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en contacto en un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura constante. Según la Ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma  en el extremo y la temperatura  del medio que la rodea. Observamos que si se pierde el calor del extremo izquierdo, la condición en la frontera es

 

 

El cambio de signo algebraico concuerda con la hipótesis de que la varilla tiene una temperatura mayor que el medio que rodea sus extremos; de manera que. . En  las pendientes de  deben ser positiva y negativa, respectivamente. Esta claro que podemos especificar condiciones distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla; por ejemplo,

 

Nótese que la condición en la frontera (CF) en i)’ es homogénea si  ahora bien, si es no homogénea. la condición en la frontera ii)’ es homogénea y en iii)’ es homogénea si  y no homogénea si

 

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