CONDICIONES EN LA FRONTERA
La cuerda de la figura 11.4 está fija en el eje x
en x = 0 y x = L. Esto lo traducimos en las dos condiciones en la frontera (CF)
siguientes:
Nótese que en este contexto la función 
es continua en la
ecuación (10) y, en consecuencia, 
En general hay tres
tipos de condiciones en la frontera relacionadas con ecuaciones como la (1),
(2) o (3). En una frontera podemos especificar los valores de una de las
siguientes cantidades:
o bien 
constante.
Aquí 
representa la
derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección
perpendicular a la frontera). Una condición a la frontera del primer tipo, i),
se llama condición de Diric
hlet; del segundo tipo, ii), condición de Newmann, y del
tercer tipo iii), condición de Robin. Por ejemplo, cuando 
una condición
frecuente en el extremo derecho de la varilla en la figura 11.1 puede ser
La condición i)’ tan sólo expresa que la frontera
se mantiene a una temperatura
constante en todo
momento 
por algún medio. La
condición ii)’ indica que la frontera 
está aislada. Según
la ley empírica de la transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una
sección (esto es, la cantidad de calor por unidad de área y por unidad de
tiempo que es conducida a través de la frontera ) es proporcional al valor de
la derivada normal 
de la temperatura 
. Así cuando la frontera 
está térmicamente
aislada, no entra ni sale calor de la varilla y
Podemos interpretar que la condición iii)’
representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en
contacto en un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura
constante. Según la Ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale
de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma 
en el extremo y la
temperatura 
del medio que la
rodea. Observamos que si se pierde el calor del extremo izquierdo, la condición
en la frontera es
El cambio de signo algebraico concuerda con la
hipótesis de que la varilla tiene una temperatura mayor que el medio que rodea
sus extremos; de manera que. 
. En 
las pendientes de 
deben ser positiva y
negativa, respectivamente. Esta claro que podemos especificar condiciones
distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla; por ejemplo,
Nótese que la condición en la frontera (CF) en
i)’ es homogénea si 
ahora bien, si
es no homogénea. la condición en la frontera ii)’ es
homogénea y en iii)’ es homogénea si 
y no homogénea si 